今日の一題 数学

さぁ　　早速ですけど・・・

今日の一題　行っちゃいますか

今日の問題はこちら！！！

図形と方程式の単元の

入試問題です

ということで、さっそく解説の方に入っていきましょう

まず

（１）①

D₁はaの値にかかわらず定点を通ると書いてありますね！！

いったいどういうことでしょう？

思っていてほしいのは

下の図のようなイメージを持っていてください！！

D₁はaの値によって、中心の座標そして半径までもが

変化します

そこでこの問いは

上の図で言う

三円が一致しているところ

つまり、aが変化しても変わらない点を求めろって言っているのです

そこで、今回は

一つの方法を試してみたいと思います

①aに好きな値を入れた式を３つ作る

②そのうち二つを使って、ｘ²とｙ²を消去した式を作る

③　②でだしたいわゆる直線の式を使ってない１つの式に代入する

そうすると

答えは出てくるはずです

何をしているのかというと

上の図で例えると

まず

緑の円の交点を結ぶ直線を作ります

その

直線と青色の円を結ぶ交点が

求めたい定点

であるということです

で上の考え方に基づいて計算してみた結果がこちら・・・！！

てことで

答えは

（３、－１）

となります

さぁ

つぎは

（２）②③④

です

ただ、

これは基本的に

式の形をなおす

と解けます

D₁　は（ｘ－３a)²＋（ｙ＋a）²＝１０（a－１）²

と変形できます

つまり

中心は

（３a、－a)

なんですね

そして

半径は

√１０ (|a-1|)

です

つまり

ｓ＝３a

ｔ＝－a

ということになります

すると

まぁもちろん関係式は

ｓ＝－３ｔとなりますよね

（３）⑤⑥⑦

ですね

⑤は先ほど言ったように

√１０ (|a-1|)

という値が半径になります！！

そして

重要なのがここからになります

D₂は中心が原点を通る半径５の円である

ということは

わかりますね？

D₁とD₂が接するそうです・・・

接するということは

二つの

中心間の距離と

２円の半径の和が

等しくないといけません！！

中心間距離　＝D₁　の半径　＋D₂　の半径

です！！

そういう方針で方程式を立ててやります

すると以下の通りです

√１０ (|a-1|)　＋　５　＝　√１０　a

ここで両辺を２乗してやるのですが

注意点が一つだけ！！

｜aー１｜

これは絶対値ですよね

aの値によって場合分けしなくちゃだめです

ということで

｜a-１|　と| 1ーa|

2つ考えてください

そうすると

答えとして

という値が出て来ます

以上で今日の一題の解説

を

終わりたいと思います

今回のような問いを解くには

結構計算力も問われます

センター試験であっても二次試験であっても、これから始まる新入試でも

たぶん一緒でしょう

数学

を得意にするには

計算力も欠かせない要素となります

ぜひ練習して磨いてみてください！！